Модели ARMA (p, q)

При оценивании модели, описывающей стационарный про­цесс, всегда можно ограничиться моделью типа AR(p) с неболь­шим количеством параметров. По этой причине иногда создаются модели ARMA(p, q) в виде комбинации моделей авторегрессии — AR(p) и скользящей средней — МА(q):

Y_t  = β₁ Y_t-1 +  β₂ Y_t-2  + … +  β_pY_t-p + ε_t + θ₁ε_t-1 + θ₂ε_t-2 + … + θ_qε_t-q

«Представление экономических процессов как процессов скользящей средней, т.е возникших в результате сложения случайных процессов — белых шумов, не соответствует природе экономиче­ских явлений, а спорадические примеры их существования — это исключения из правил […]. В экономических исследованиях можно встретить модели типа ARMA, которые, вероятнее всего, оказываются результатом применения правила осторожности при оценивании параметров модели» [Kufel[2002], с. 82-83].

Выбор параметров р и q модели ARMA определяется как этап идентификации процесса. Для осуществления этого выбора необходимо сравнить функции автокорреляции ACF и частной авто­корреляции PACF. Важнейшие свойства этих функций представ­лены ниже.

Свойства теоретических функций ACF и PACF процесса ARMA

Процесс	Функция автокорреляции ACF	Функция частной автокорреляции PACF
AR(p)	Бесконечная, убывающая (убывающие показательные функции и/или синусоиды с возмущениями)	Конечная, обрывается после р периодов
MA(q)	Конечная, обрывается после q периодов	Бесконечная, убывающая (убыва­ющие показательные функции и/ или синусоиды с возмущениями)
ARMA(p, q)	Бесконечная, убывающая (после первых р—q периодов убывающие показатель­ные функции и/или сину­соиды с возмущениями)	Бесконечная, убывающая (после первых р — qпериодов домини­руют убывающие показательные функции и/или синусоиды с возмущениями)

Источник: Zelias, Paweiek, Wanat [2003], с. 241, Box, Jenkins (1983], с. 86.

В рамках пакета программ GRETL модель ARMA для ис­следуемого процесса оценива­ется при помощи функции Модель — Временные ряды — ARIMA, где задается порядок AR и MA (остальные значения равны нулю) путем выбо­ра значений р и q из интервала от 0 до 4.

Результатом модели ARMA для инфляции в России за 2004-2011 год является

Эта функция может исполь­зоваться и для оценивания мо­дели MA(q), если параметр порядка авторегрессии задан равным нулю, т.е. р = 0.

Для выбора корректных значений параметров р и q можно вос­пользоваться критериями выбора моделей AIC, BIC или Log-like­lihood. Наилучшей модели соответствуют минимальные значения этих критериев.

Представленный способ выбора рекомендуется для ежегодных данных; для сезонных данных лучше воспользоваться функцией X-12-ARIMA analysis или TRAMO analysis

Источник: Куфель Т. Эконометрика: решение задач с применением пакета программ GRETL