Тест Уайта (White)
Этот тест применяется в том случае когда есть априорные предположения, что гетероскедастичность обусловлена зависимостью дисперсии ошибки от объясняющих переменных. В случае стохастических регрессоров проверяется гипотеза
H0 : Var(u/x1,…, xk) = σ2
против альтернативы
H1 : Var(u\x1,…, xk) = σ2(x1,…, xk).
В модели с детерминированными регрессорами проверяется нулевая гипотеза
H0 : σ12 = σn2
Для проверки нулевой гипотезы White(1980) предложил следующую двухшаговую процедуру:
- Находим OLS-остатки ei в исходной модели регрессии;
- Вычисляем коэффициент R02 во вспомогательной регрессии е2 на константу, регрессоры, их квадраты и попарные произведения:
При справедливости нулевой гипотезы о гомоскедастичности ошибок статистика nR02 для проверки значимости вспомогательной регрессии «в целом» асимптотически (т.е. при больших объемах выборки) имеет распределение хи-квадрат
где число степеней свободы К равно числу регрессоров во вспомогательной регрессии. Таким образом, при заданном уровне значимости α (асимптотически) нулевая гипотеза о гомоскедастичности отвергается при nR02 > χ2кр, где критическое значение χ2кр = χ2(α ; К). Несложно показать, что К = (k2 + 3k)/2, где k, как обычно, число регрессоров в исходной модели регрессии.
Замечание. Важно отметить, что вспомогательная регрессия не имеет никакой экономической интерпретации, а нужна только для вычисления коэффициента R02.
Тест White является наиболее общим тестом для проверки гетероскедастичности ошибки регрессии, однако он имеет следующие недостатки:
- даже при небольшом количестве регрессоров в исходной модели во вспомогательной модели, оцениваемой на втором шаге, может быть «много» (относительно объема выборки) оцениваемых коэффициентов, что уменьшает мощность теста;
- если нулевая гипотеза отвергается, то не дается указаний на функциональную форму гетероскедастичности (на вид функции σ2(х)).
- тест не учитывает зависимость дисперсии ошибок от невключенных в модель регрессоров
Замечание. Для проверки значимости вспомогательной регрессии «в целом» также можно использовать F-статистику, асимптотически имеющую распределение Фишера.
Если во вспомогательной модели «много» (относительно объема выборки) коэффициентов, то можно воспользоваться следующей модификацией теста White:
- находим остатки ei и предсказанные значения yi в исходной модели регрессии;
- оцениваем вспомогательную регрессию e2 на yi^ и y2i^
находим коэффициента R02.
При справедливости нулевой гипотезы о гомоскедастичности ошибок статистика пR02 для проверки значимости вспомогательной регрессии «в целом» асимптотически (т.е. при больших объемах выборки) имеет распределение хи-квадрат
Таким образом, при заданном уровне значимости α (асимптотически) нулевая гипотеза о гомоскедастичности отвергается при nR02 > χ2кр , где критическое значение χ2кр = χ2(α ;2).