Проверка единичных корней

Для того чтобы охарактеризовать какой-либо процесс, нужно изучить его структуру с точки зрения авторегрессии и периодично­сти. Если авторегрессионная структура свидетельствует, что для рассматриваемого процесса ρt = 1, то этот процесс нестационарен и в его дисперсии присутствует тренд. Изменчивость дисперсии (гетероскедастичность) — очень неприятное явление в моделируе­мых процессах.

Ниже представлены два теста для проверки единичных корней — тест ADF и тест KPSS.

Для выявления нестационарности дисперсии, т.е. для подтвер­ждения того, что в модели Y_t = ρ_tY_t + ε, параметр ρ_t = 1, применяется тест для проверки единичных корней, называемый тестом Дики-Фуллера (Dickey-Fuller). Этот тест верифицирует нуле­вую гипотезу о том, что процесс интегрирован в первой степени I(1), относительно альтернативной гипотезы о том, что процесс не интегрирован, т.е. I(0).

Проверяется модель вида

ΔYt = т + gY_t-1 + ε

в которой g = ρ_t — 1 при нулевой гипотезе H₀: g = 0, равнозначной Н₀: ρ_t  = 1. Это означает, что процесс интегрирован в первой степе­ни: Y_t — 1(1), т.е. d = 1, при альтернативной гипотезе Н1: g < 0, равнозначной Н1: ρ_t < 1. В этом случае Y_t — 1(0), т.е. d = 0. Отри­цательная значимость параметра g означает, что в исследуемом процессе интеграция не наблюдается; следовательно, степень ин­теграции d равна нулю, Y_t ~ 1(0).

Расширенная версия этого теста, известная под названием ADF-тсст (англ. augmented Dickey—Fullertest), проверяет отри­цательную существенность параметра g в модели вида

ΔYt = т₀ + m1t + gY_t-1 + d_tΔY_t-1 + d_kΔY_t-k + ε_t .

Так же, как и в DF-тссте, в ADF-тестс отрицательная значимость параметра g означает отсутствие интеграции процесса, т.е. степень d = 0 (Y_t ~ I(0)), а несущественность этого параметра означает первую степень интеграции, т.е. d = 1 и Y_t ~ I(1).

В пакете программ GRETL для выполнения DF- и ADF-тестов исследуемого процесса необходимо выбрать в меню инструкцию Переменная — Тесты единичного корня — Расширенный тест Дики-Фуллера (ADF-тест )

Прежде всего должен быть указан порядок запаздывания для процесса первых разностей (по умолчанию он равен 1), а также возможные компоненты детерминированного тренда процесса

ADF-тест предназначен для определения максимального порядка запаздывания, однако в случае несуществен­ности параметра при наиболь­шем временном лаге оценива­ется модель более низкого по­рядка — вплоть до получения существенной оценки.

Оценки, полученные для обеих рассмотренных выше моделей представлены в окне результатов gretl

Оценки процесса «Индекс инфляции в России в 2004-2011 гг.»  свидетельствуют об отсутствии ин­теграции процесса, поэтому нулевую гипотезу Н₀: g = 0 о том, что Y_t ~ I(1), следует принять. Несущественное отрицательное значение t-статистики Стьюдента в модели ADF с линейным трендом (t = -2,101) и в модели ADFс квадратичным трендом (t= -1,9347), а также указанные в окне результатов эмпирические уровни значимости, превышающие 5%, подтверждают это решение.

Тест KPSS проверяет нулевую гипотезу Н₀: Y_t ~ I(0), т.е. d= 0. Это означает стационарность процесса I(0) при альтерна­тивной гипотезе Н1: Y_t~ I(1), т.е. d= 1, свидетельствующей о на­личии интеграции первой степени.

Представленные  результаты подтверждают решение об отсутствии оснований для принятия нулевой гипотезы, т.е. процесс инфляции характеризуется стационарностью типа I(1).

Источник: Куфель Т. Эконометрика: решение задач с применением пакета программ GRETL