Методы интегрирования

Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование основано на свойстве 4 неопределенного интеграла Если функции f1(x), … fn(x) имеют первообразные в некотором промежутке, то функция f(x) = f1(x)+f2(x)+f3(x)+…+-fn(x) также имеет первообразную в том же промежутке, причем

т.е. неопределенный интеграл от суммы некоторого числа функций равен такой же сумме неопределенных интегралов от слагаемых.

Примеры задач, решаемых с помощью непосредственного интегрирования, рассматриваются на следующем видео

Метод подстановки

Интегрирование производимое введением новой переменной (или метод подстановки) основано на формуле

где x = ф(t) — дифференцируемая функция переменой t.

Задачи, решаемые с помощью метода подстановки, рассматриваются на следующем видео

Метод интегрирования по частям

Если u = u (х), v = v (х) — дифференцируемые функции от х, то из формулы для дифференциала произведения двух функций d(uv) = udv+vdu получается формула интегрирования по частям

Эта формула применяется в случае, когда подынтегральная функция представляет собой произведение алгебраической и трансцендентной функций. В качестве и обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, в качестве dv — оставшаяся часть подынтегрального выражения, содержащая dx, из которой можно определить v путем интегрирования.

Для сведения данного интеграла к одной из формул простейших интегралов формулу нужно применить несколько раз. Иногда искомый интеграл определяется из алгебраического уравнения, получающегося с помощью интегрирования по частям.

Смотрите задачи, решаемые методом интегрирования по частям, на следующем видео