Системы линейных уравнений

К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные задачи по математике. Рассмотрим постановку задачи.

Дана система n алгебраических уравнений с n неизвестными:

Эту систему можно записать в матричном виде: А • X = В, где

А — квадратная матрица коэффициентов, X — вектор-столбец неизвестных, В — вектор-столбец свободных членов.

Численные методы решения систем линейных уравнений делятся на прямые и итерационные.

Прямые методы используют конечные соотношения для вычисления неизвестных. Эти методы сравнительно просты и пригодны для широкого класса систем.

Недостатки: требуют хранения в памяти ЭВМ сразу всей матрицы А. При больших порядках системы расходуется много места в памяти и накапливается вычислительная погрешность. Кроме того, существенно возрастает время вычисления вектора X. Поэтому прямые методы обычно применяют при небольших порядках системы (n < 200).

Примеры прямых методов решения систем линейных уравнений

Метод определителей Крамера, метод Гаусса. Первый из них применяется крайне редко, так как с ростом n алгоритм нахождения определителей резко возрастает.

Итерационные методы основаны на последовательных приближениях. Задается некоторое приближенное значение вектора Х — начальное приближение. Затем с помощью некоторого алгоритма проводится первый цикл вычислений — итерация, в результате которого получается новое приближение вектора Х. Итерации проводятся до получения решения с заданной точностью.

Алгоритм решения систем линейных уравнений здесь более сложен, чем у прямых методов. Не всегда выполняется условие сходимости. Однако в ряде случаев итерационные методы предпочтительнее. Они требуют хранения в памяти ЭВМ не всей матрицы A, а лишь нескольких векторов. Вычислительная погрешность практически не накапливается. Поэтому итерационные методы применимы и для больших порядков системы. Примеры — метод простой итерации и метод Зейделя.