Тест Голдфелда-Квандта

В этом случае также предполагается, что стандартное отклонение σi =σ(ε) пропорционально значению xi, т. е. σ² = σ²_ix²_i, i = 1, 2,…, n. Предполагается, что εi имеет нормальное распределение и автокорреляция остатков отсутствует. Тест Голдфелда-Квандта состоит в следующем:

1. Все n наблюдений упорядочиваем по величине X.
2. После этого всю упорядоченную выборку разбиваем на три подвыборки размерностей k, n-2k, k соответственно.
3. Оцениваем отдельные регрессии для первой подвыборки (k первых наблюдений) и для третьей подвыборки (k последних наблюдений). Если предположение о пропорциональности дисперсий отклонений значениям X верно, то дисперсия регрессии по k первой подвыборке (сумма квадратов отклонений S₁ = Σe²_i) будет существенно меньше дисперсии регрессии по третьей подвыборке n суммы квадратов отклонений S₃ = Σe²_i).
4. Для сравнения соответствующих дисперсий строим следующую F-статистику:
   
   Здесь (k-m-1) число степеней свободы выборочных дисперсий (m — количество объясняющих переменных в уравнении регрессии). При сделанных предположениях относительно случайных отклонений построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы ν1 = ν2 = (k-m-1).
5. Если F_набл = S₃/S₁ >F_крит = F_α,v1,v2;, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется (здесь α — выбранный уровень значимости).Важный вопрос: какими должны быть размеры подвыборок для принятия обоснованных решений? Для парной регрессии Голдфелд и Квандт предлагают следующие соотношения: n = 30, k = 11; n = 60, k = 22.Для множественной регрессии данный тест, как правило, проводится для той объясняющей переменной, которая в наибольшей степени связана с σi. При этом k должно быть больше, чем (m + 1) . Если нет уверенности относительно выбора переменной X, то данный тест можно проводить для каждой из объясняющих переменных.

   Тест Голдфелда-Квандта может быть использован при предположении об обратной пропорциональности между σi и значениями объясняющей переменной. При этом статистика Фишера примет вид: F = S₁/S₃.

Более подробно о гетероскедастичности читайте здесь.