Лекции по дисциплинам

Уравнение и график катеноида

Катеноид — поверхность, полученная вращением цепной линии вокруг ее оси.

График катеноида

Рассмотрим катеноид, полученный вращением вокруг оси Oz цепной линии, заданной параметрическими уравнениями

Параметрическое уравнение

Эта линия расположена в плоскости Oxz. В соответствии с параметрическим уравнением поверхности вращения находят параметрическое уравнение катеноида

вывод уравнения катеноида

Исключая из этих уравнений параметры u, v, получаем

параметрическое уравнения катеноида

Катеноид является единственной минимальной поверхностью среди поверхностей вращения. Минимальные поверхности возникли при решении следующей задачи: среди всех поверхностей, проходящих через данную замкнутую пространственную линию, найти ту, которая имеет минимальную площадь поверхности, ограниченной данной линией. Отсюда происходит и название такой поверхности. Бельгийский физик Плато предложил простой экспериментальный способ получения минимальных поверхностей посредством мыльных пленок, натянутых на проволочный каркас.

Катеноид обладает следующим свойством. Рассмотрим две окружности, полученные пересечением катеноида соответственно плоскостями z = - с, z = с. Любая поверхность, края которой совпадают с этими окружностями, имеет площадь большую, чем часть катеноида, расположенная между указанными окружностями. Мыльная пленка, соединяющая данные окружности под действием сил внутреннего натяжения, принимает ферму катеноида.