Лекции по дисциплинам

Уравнение и график геликоида (геликоптера)

Геликоид - поверхность, описанная прямой, которая вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной оси, пересекает ось под постоянным углом а и одновременно перемещается поступательно с постоянной скоростью вдоль этой оси. При а = 90° геликоид называют прямым (а), при а не равно 90° геликоид называют косым (б).

График геликоида

Рассмотрим прямой геликоид, описанный прямой, перпендикулярной оси Oz (а). Пусть M{x,y,z) - произвольная точка поверхности, Р- ее проекция на плоскость Оху, Q,L- проекции точки Р соответственно на оси Ох, Оу. Обозначим через и расстояние точки М до оси Oz (/MN / = /ОР/ = u), а через v - угол, образуемый отрезком ОР с осью Ох.

Параметрические уравнения геликоида имеют вид

Параметрическое уравнение геликоида

где а — некоторая постоянная.

Наглядное представление о положении отдельных прямых (лучей) при v = const дают ступени винтовой лестницы.

Представление о геликоиде можно составить, например, наблюдая движение винта вертолета при его вертикальном взлете. Отметим, что первоначально вертолеты называли геликоптерами, винтокрылыми. Первый эскиз геликоптера был нарисован еще Леонардо да Винчи.

Разнообразные геликоиды широко применяются на практике. Это объясняется следующим: геликоид образован сложением двух самых распространенных видов равномерного движения — прямолинейного и вращательного. Вследствие этого геликоид можно применить там, где необходимо перейти от одного из указанных видов движения к другому, что имеет место практически в любой машине.