Лекции по дисциплинам

Определенный интеграл

Советуем посмотреть видео об определенном интеграле, или читайте информацию об интеграле чуть ниже

Пусть дана функция y=f(x), определенная на отрезке [а, b], где а < b. Отрезок [а, b] точками а = х0 < х1 < х2 < ... < хn = b разобьем на n элементарных отрезков [а, х1] , [х1, ,х2],...,[xn-1, b], длины которых обозначим через дельта хk.

В каждом из элементарных отрезков [xk-1, xk] выберем произвольно одну точку кси k значение функции в этой точке умножим на длину отрезка дельта хk, получим произведение. Составим сумму всех таких произведений

Эта сумма называется интегральной суммой для функции y = f(x) на отрезке [а, b]. Обозначим через лямда, длину наибольшего из элементарных отрезков [xk-1, xk] (k = 1,2,...,n), т.е. Х = mах лямда дельта хk.

Число S называется пределом интегральной суммы S, если для любого числа е > 0 можно указать такое число б > 0, что при лямда < б выполняется неравенство |Sn - S| < e независимо от выбора точек кси на отрезках [xk-1, xk]

Определенным интегралом от функции у = f(x) на отрезке [а, b] называется конечный предел ее интегральной суммы, когда число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю. Определенный интеграл в контрольных работах по математике обозначается символом

определенный интеграл

f(x) называется подынтегральной функцией, х - переменной интегрирования, a - нижним, b - верхним пределами интегрирования. Следовательно, по определению

формула определенного интеграла

Из определения следует, что величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

величина определенного интеграла

Функция, для которой существует предел суммы, называется интегрируемой на отрезке [а, b].

Очевидно, если ф-ция f(x) интегрируема на отрезке [а, b] то она и ограничена на этом отрезке. Обратное утверждение не верно: существуют ограниченные функции, не являющиеся интегрируемыми. К ним принадлежит функция Дирихле, равная единице в рациональных точках и нулю - в иррациональных. На любом отрезке [а, b] эта функция ограничена, но не является интегрируемой на нем.

Соответственно по определению

где f(x) - любая функция;

где f(x) — функция, интегрируемая на отрезке [b, a] (b < a). Справедливы следующие утверждения.

1. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, b], то она интегрируема на любом отрезке [с, d], содержащемся в [а, b].

2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она и интегрируема на этом отрезке.

3. Если функция f(x) имеет на отрезке [а, b] конечное число точек разрыва первого рода, то она интегрируема на [а, b].