Расчет коэффициентов множественной линейной регрессии
Представим данные наблюдений и коэффициенты модели в матричной форме.
Здесь Y — n-мерный вектор-столбец наблюдений зависимой переменной; X — матрица размерности n х (m +1), в которой i-я строка i = 1, 2,..., n представляет i-е наблюдение вектора значений независимых переменных X1, X2,...,Xm, единица соответствует переменной при свободном члене b0; B — вектор-столбец размерности (m + 1) параметров уравнения множественной регрессии; e — вектор-столбец размерности n отклонений выборочных значений yi зависимой переменной от значений yi, получаемых по уравнению регрессии:
В матричном виде соотношение примет вид:
Согласно методу наименьших квадратов:
где eT = (e1, e2,..., en), т. е. надстрочный значок T означает транспонированную матрицу.
Можно показать, что предыдущее условие выполняется, если вектор-столбец коэффициентов B найти по формуле:
Здесь XT — матрица, транспонированная к матрице X,
(XTX)-1 — матрица, обратная к (XTX). Соотношение справедливо для уравнений регрессии с произвольным количеством m объясняющих переменных.
Пример задачи на нахождение параметров множественной регрессии
Пусть объем предложения некоторого блага Y фирмы линейно зависит от цены X1 и заработной X2 сотрудников, производящих данное благо. Определим коэффициенты уравнения линейной регрессии.
Матрицы имеют вид:
Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:
Отметим, что в случае двух объясняющих переменных:
Другие примеры решения задач по эконометрике смотрите здесь